“Los problemas de tipo aditivo “

Las matemáticas consideran, a justo título, a la sustracción y a la adición como operaciones matemáticas estrechamente emparentadas. Por problemas de tipo aditivo entendemos aquellos cuya solución exige adiciones o sustracciones de la misma manera que por estructuras aditivas entendemos las estructuras o las relaciones en juego que solo están formadas de adiciones o sustracciones.

Medidas y transformación

Se puede sumar una medida a otra y encontrar como resultado una medida, ejemplo:

-          Si pablo tiene 6 canicas de vidrio en su bolsillo derecho y 8 canicas de acero en su bolsillo izquierdo, tiene en total 14 canicas.

-          6 es la medida del conjunto de canicas de vidrio

-          8 es la medida del conjunto de canicas de acero

-          14 es la medida del conjunto-unión de los dos primeros

Lo anterior define una primera forma de relaciones auditivas en las cuales dos números de la misma naturaleza son sumados uno con otro y dan por resultado un numero de la misma naturaleza; igualmente una medida.

Una forma diferente de relaciones auditivas, cuando introdujimos el modelo estado- transformación-estado ejemplos:

-          Si pablo tiene 7 monedas de un peso y pierde 3, le quedan 4.

-          7 es un medido

-          4 es una medida

Pero -3, que representa la pérdida de 3 monedas, no es una medida, es una transformación.

Esta diferencia entre medidas- estados y transformaciones nos conducirá a distinguir varios tipos de números.

"Números naturales y números relativos"

Los números más simples son aquellos que corresponden a las medidas de los conjuntos de los objetos aislables, a los cardinales: 1,2,3,4, 5, Etc.

Los matemáticos los llaman “números naturales”, y añaden el número 0, que corresponde a la medida del conjunto vacío.

N= o,1,2,3, 4,…..n,,,,

Los números matemáticos naturales no son ni positivos ni negativos, puesto que corresponden a medidas y no a transformaciones. Los números naturales son números sin signos, no pueden representar transformaciones, puesto que estas necesariamente positivas o negativas. Hay pues que introducir otro conjunto de números, dotados de signo, los números relativos. Estos representan adecuadamente las transformaciones aditivas (adiciones y sustracciones) que se pueden efectuar sobre la medida de un conjunto de objetos aislables, añadiendo o quitando elementos a dicho conjunto.

Números enteros y números decimales

Si uno de limita a las medidas de conjuntos de objetos aislables, solo se obtienen como medidas y transformaciones números enteros. Cuando se consideran las medidas de magnitudes continuas (longitudes, áreas, masas, volúmenes,) no se obtienen como medidas números enteros, sino números que se tratan de aproximar, atravesó de decimales.

La distinción precedente entre números naturales y relativos es válida también para los números con punto; pero los matemáticos no han inventado términos particulares para tal distinción. se podría hablar de números con punto relativos para representar las transformaciones; y de números con punto relativos para presentar las transformaciones; pero debe de saberse que esta denominación es un abuso del lenguaje: los naturales y los relativos son, 4n matemáticas, números enteros y no decimales.

“Las seis grandes categorías de las relaciones auditivas”

Existen varios tipos de relaciones aditivas y, en consecuencia, varios tipos de adicciones y sustracciones. Estas distinciones no se hacen habitualmente en la enseñanza elementa, tampoco en la enseñanza secundaria; sin embargo, son importantes ya que la dificultad de los distintos casos que vamos a ver es muy diferente.

Las relaciones aditivas son relaciones ternarias que pueden encadenarse a diversas maneras y ofrecer una gran variedad de estructuras aditivas.

Primera categoría: dos medidas se componen para dar lugar a una mediana

Segunda categoría: una transformación opera sobre una medida para dar lugar a una medida.

Tercera categoría: una relación une dos medidas.

Cuarta categoría: dos transformaciones se componen para dar lugar a una transformación

Quinta categoría: una transformación opera sobre un estado relativo, para dar lugar a un estado relativo

Sexta Categoría: dos estados relativos se componen para dar lugar a un estado relativo.

La representación por ecuaciones plantea grandes dificultades y es una fuente considerable de confusión para los niños, por esta razón, se comienza el estudio de ecuaciones en el nivel de secundaria. Sin embargo, muchos maestros de primaria se sienten tentados a utilizar las ecuaciones, esto viene de la tradición y del sentir de que la representación por ecuaciones es la representación matemática por excelencia.

"Diferentes esquemas y ecuaciones"

El cálculo racional que implica la solución de los problemas de las clases 2 y 5 es ya más completo y da lugar a posteriores fracasos. Incluso con números pequeños, casi no es posible abordar este tipo de problemas antes del final del primer año o del segundo de la primaria, mientras que los problemas de las clases 1 y 4 pueden ser tratados más tempranamente. El procedimiento de “complemento” consiste en buscar, sin hacer una sustracción, lo que hay que añadir (o quitar) al estado inicial para llegar al estado final. Este procedimiento solo es posible con números pequeños aquellos que presten al cálculo mental; pero no requiere un cálculo racional complejo, y es utilizado muy precozmente.

El procedimiento de la “diferencia” consiste en buscar, por sustracción entre los dos estados inicial y final, el valor de la transformación. Este procedimiento se utiliza con todos los números cualesquiera que sean.

El procedimiento del “complemento “no obliga al niño a razonar sobre la translocación más que en el sentido directo; partir del estado inicial, aplicar la transformación más que en el sentido directo: parte del estado inicial, aplicar la transformación, y llegar al estado final. Si el niño no consigue encontrar inmediatamente e complemento puede incluso ensayar y corregir en función del resultado obtenido.

El procedimiento de la “diferencia “obliga al niño, al contrario, a razonar de entrada sobre la transformación en las relaciones que unen el estado final con el estado inicial, y calcular directamente por sustracción.

“la facilidad más o menos grande del cálculo numérico necesario”

La complejidad crece, al interior de una misma clase de problemas, con la dificultad del cálculo necesario. Los números grandes dar lugar a mayores dificultades que a los pequeños; los números decimales implican mayor dificultad que lo enteros.

Hay que subrayar que algunos números prohíben el uso de ciertos procedimientos, porque no se prestan a un cálculo bastante simple, en este caso se recurre al procedimiento canónico que es un cálculo relacional más elaborado.

“el orden y la presentación de las informaciones”

Las informaciones pertinentes para la solución de un problema pueden estar dadas de múltiples maneras:

·         Informaciones perdidas entre otras informaciones en un texto, o presentadas de tal manera que el niño reconoce que tiene frente a él las informaciones necesarias y suficientes para la solución

·         Infamaciones ordenadas conforme el desarrollo temporal de hechos contados o, al contrario, proporcionadas en desorden o en un orden inverso.

Hay que habituar al niño a recibir enunciados en donde figuren informaciones útiles y que en consecuencia deberá saber dejar de lado, así como enunciados en donde ciertas informaciones necesarias estén ausentes.

Señalemos que el análisis de una situación real, en la cual las informaciones no verbalizadas, siempre requiere de la búsqueda de informaciones necesarias y del filtrado de las informaciones suficientes. de manera general un problema se puede complicar seriamente si se invierte el orden de las informaciones.

“tipo de contenido y de relaciones consideradas”

   El dominio de la relación a las cuales hacen referencia los problemas pueden desempeñar un papel importante.

La canica perdida, los kilómetros recorridos, cantidades físicas cosidas, no pueden ponerse en el mismo plano en la enseñanza primaria, por la simple y sencilla razón de que las nociones que se requieren no son del mismo nivel. También existen diferencias entre cantidades discretas: el aumento de una población no se entiende tan fácilmente como la ganancia, de canicas, pues la referencia a la vida cotidiana del niño es distinta en cada caso. Por otra parte, la forma misma de la relación puede desempeñar un papel. No es necesariamente equivalente para el chiquillo decir que” ganamos 12 canicas “a decir que tenemos 12 canicas”

En fin, aunque las relaciones ternarias estadísticas o transformaciones se pueden ilustrar en la misma forma sagital o algebraica, el niño no capta de la misma manera una relación estática entre dos elementos:

“Analisis de los problemas concernientes a las otras categrias de relaciones aditivas”

·         Primera categoría: dos medidas son compuestas para dar lugar a otra medida, esta categoría solo origina dos grandes clases de problemas:

1.       Siendo conocidas las dos medidas elementales, encontrar la compuesta.

2.       Siendo conocidas la medida compuesta encontrar las elementales.

La primera clase de problemas se resuelve con adicción, cuya dificultad puede variar, en función de los números dados. La segunda clase de problemas se resuelve normalmente por sustracción.

La composición de transformaciones puede ser positiva o negativa. Tomemos primero la primera clase de problema,” siendo conocidas las elementales, encontrar la compuesta”; la dificultad no será la misma si se trata de componer dos transformaciones   positivas, dos transformaciones negativas. En el último caso, los niños encuentran también dificultades desiguales, según la magnitud relativa de los valores absolutos de las transformaciones elementales. El cuadro que sigue resume los diversos casos posibles.

Tratemos de presentar un esquema analítico los aspectos de este cálculo relacional:

La mayoría de los niños son capaces de asimilar este razonamiento antes de los doce años. A pesar de las dificultades, no está de más hacer ejercicios sobre la composición y  la descomposición de las transformaciones en la escuela primaria, y aprovechar tales ocasiones para desarrollar explicaciones de un mayor grado de dificultad, como en el esquema visto. Los niños obtendrán provecho, cuando menos parcialmente, y ellos les preparara para recibir en la escuela secundaria .